L'espérance de gain : ce que dit le calcul sur un pari

Un pari est un échange : on met une somme, on obtient une chance de gagner davantage. Les mathématiques proposent un outil pour mesurer cet échange, l'espérance de gain. Elle ne dit pas si le pari sera gagnant, mais ce qu'il rapporte en moyenne si on pouvait le rejouer un très grand nombre de fois. Cet article en présente le calcul sur des exemples fictifs, et ce qu'il enseigne.

La formule

L'espérance d'un pari, par euro misé, se calcule ainsi : on multiplie la probabilité de gagner par la cote décimale, puis on retranche un. Le résultat est un gain ou une perte moyenne par euro. S'il est positif, le pari rapporte en moyenne ; s'il est négatif, il coûte en moyenne.

La cote décimale inclut la mise, d'où le "moins un". Une cote de 2,00 rend deux euros pour un euro misé, soit un gain d'un euro. La formule rend compte de ce fait.

Un premier exemple

Prenons un pari à la cote de 2,00, et supposons que la probabilité réelle de gagner soit de 45 %. L'espérance est de 0,45 multiplié par 2,00, moins 1, soit moins 0,10. Chaque euro misé revient en moyenne à 90 centimes : la perte moyenne est de 10 %.

Sur cent paris de 2 euros, soit 200 euros misés, la perte moyenne est de 20 euros. Ce chiffre est une moyenne : sur cent paris réels, le résultat peut être très différent, à cause de la variabilité. Mais plus le nombre de paris augmente, plus le résultat se rapproche de la moyenne, selon un principe de statistique appelé loi des grands nombres, que les joueurs ont tendance à oublier sur de courtes séries.

Un deuxième exemple, à cote élevée

Avec une cote de 3,40 et une probabilité réelle de 28 %, l'espérance est de 0,28 multiplié par 3,40, moins 1, soit moins 0,048. La perte moyenne est de 4,8 centimes par euro. Elle est plus faible que dans l'exemple précédent, mais elle reste négative.

Sur cent paris de 2 euros, la perte moyenne est de 9,60 euros. L'exemple montre qu'une cote élevée ne garantit pas une espérance meilleure : tout dépend de l'écart entre la probabilité réelle et celle que suppose la cote.

Quand l'espérance est positive

Imaginons une cote de 2,20 avec une probabilité réelle de 50 %. L'espérance est de 0,50 multiplié par 2,20, moins 1, soit plus 0,10. Un euro misé est ici restitué à hauteur de 1,10 euro en moyenne, soit un gain de 10 %. Sur cent paris de 2 euros, le gain moyen est de 20 euros, ce qui illustre l'effet d'un avantage réel, rare et fragile dans la pratique.

Un tel pari est qualifié de favorable. Mais il suppose de connaître la vraie probabilité, ce qui est impossible. On n'a que des estimations, souvent proches de celles de l'opérateur, qui dispose de moyens d'analyse considérables. Un avantage durable est donc rare, et difficile à démontrer.

Le lien avec la marge

Pour un marché à deux issues équilibrées, avec une cote de 1,91 de chaque côté, la probabilité réelle de chaque issue est de 50 % si le marché est juste. L'espérance est de 0,50 multiplié par 1,91, moins 1, soit moins 0,045. La perte moyenne est de 4,5 % par euro misé.

C'est la marge de l'opérateur, vue sous un autre angle. Quand on parie sur un marché dont les probabilités sont correctement estimées, l'espérance est négative d'un montant proche de la marge. La page sur la marge et le fonctionnement des paris détaille la manière dont elle se calcule.

Ce que le calcul ne dit pas

L'espérance est une moyenne sur un grand nombre de paris. Elle ne dit rien sur le résultat d'un pari précis, ni sur une courte période. Un joueur peut gagner pendant plusieurs semaines avec une espérance négative, et perdre pendant plusieurs semaines avec une espérance positive.

Elle suppose aussi que l'on connaisse la vraie probabilité, ce qui n'est jamais le cas. Elle ne dit rien non plus sur le plaisir de jouer, ni sur les conséquences d'une perte pour une personne donnée. C'est pourquoi la notion de budget, présentée dans la page sur les signaux et les ressources, complète utilement le calcul : l'espérance dit combien coûte le jeu en moyenne, le budget dit combien on accepte de dépenser.

Âge et jeu responsable

Les paris sont réservés aux personnes majeures. Comprendre l'espérance aide à renoncer à l'idée d'un système infaillible : tant que la marge existe, la moyenne est négative, et aucune méthode ne la fait disparaître. Fixer un budget, ne jamais jouer pour rattraper une perte et s'arrêter dès que le plaisir disparaît sont les bases du jeu responsable, et ce calcul n'y change rien : il aide à comprendre le coût du jeu, pas à l'effacer. Pour revoir les notions de probabilité, l'encyclopédie en ligne présente le concept général.